| 1045 |
kaklik |
1 |
\documentclass[12pt,notitlepage,fleqn]{article}
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
\usepackage[czech]{babel}
|
|
|
4 |
\usepackage[pdftex]{graphicx}
|
|
|
5 |
\usepackage{fancyhdr,multicol} %nastavení češtiny, fancy, grafiky, sloupce
|
|
|
6 |
\usepackage[utf8]{inputenc} %vstupni soubory v kodovani UTF-8
|
|
|
7 |
\usepackage[a4paper,text={17cm,25cm},centering]{geometry} %nastavení okrajů
|
|
|
8 |
\usepackage{rotating}
|
|
|
9 |
|
|
|
10 |
\begin{document}
|
|
|
11 |
|
|
|
12 |
\section*{Řešení 4. zadané úlohy - Jakub Kákona}
|
|
|
13 |
|
|
|
14 |
\begin{enumerate}
|
|
|
15 |
\item
|
|
|
16 |
|
|
|
17 |
|
|
|
18 |
|
|
|
19 |
\item
|
|
|
20 |
Zadaná soustava rovnic může být přepsána do maticového tvaru
|
|
|
21 |
|
|
|
22 |
\begin{equation}
|
|
|
23 |
\dot x = Ax \\
|
|
|
24 |
A = \left[ \begin{array}{ccc}
|
|
|
25 |
1 & -1 & 1 \\
|
|
|
26 |
1 & 0 & 1 \\
|
|
|
27 |
1 & 1 & 1 \\
|
|
|
28 |
\end{array}
|
|
|
29 |
\right]
|
|
|
30 |
\end{equation}
|
|
|
31 |
|
|
|
32 |
Tato matice ale není regulární, proto má systém nekonečně mnoho rovnovážných bodů. Jejich vyjádření získáme požadavkem na nulové derivace v rovnovážných bodech. Řešíme tedy homogenní rovnici.
|
|
|
33 |
|
|
|
34 |
\begin{equation}
|
|
|
35 |
|
|
|
36 |
\end{equation}
|
|
|
37 |
|
|
|
38 |
Tato rovnice má řešení
|
|
|
39 |
|
|
|
40 |
\begin{equation}
|
|
|
41 |
a = \left[ \begin{array}{c}
|
|
|
42 |
-t \\
|
|
|
43 |
|
|
|
44 |
t \\
|
|
|
45 |
\end{array}
|
|
|
46 |
\right] \\
|
|
|
47 |
t \in R
|
|
|
48 |
\end{equation}
|
|
|
49 |
|
|
|
50 |
|
|
|
51 |
\item
|
|
|
52 |
zadaný systém není asymptoticky stabilní, protože
|
|
|
53 |
|
|
|
54 |
\begin{equation}
|
|
|
55 |
\lim _{x \to \infty} \sin x(k) \neq 0
|
|
|
56 |
\end{equation}
|
|
|
57 |
|
|
|
58 |
\item
|
|
|
59 |
K určení stability nepomůže Sylvestrovo kritérium, proto
|
|
|
60 |
najdeme vlastní čísla matice z charakteristického polynomu
|
|
|
61 |
|
|
|
62 |
\begin{equation}
|
|
|
63 |
\det (\lambda I - A) =
|
|
|
64 |
\left[ \begin{array}{cc}
|
|
|
65 |
\lambda & -1 \\
|
|
|
66 |
1 & \lambda\\
|
|
|
67 |
\end{array}
|
|
|
68 |
\right] = \lambda ^2 + 1
|
|
|
69 |
\end{equation}
|
|
|
70 |
|
|
|
71 |
Polynom má komplexní kořeny $\lambda _{1,2} = \pm j$
|
|
|
72 |
|
|
|
73 |
A matice je positivně semidefinitní. Systém je proto stabilní, ale ne asymptoticky.
|
|
|
74 |
|
|
|
75 |
\item
|
|
|
76 |
|
|
|
77 |
Pokud si zvolíme hodnoty $x_1(k)=x(k), x_2(k)=x(k+1)$ dostaneme $x_1(k+1)=x(k+1), x_1(k+1)=x_2(k)$ A můžeme vytvořit soustavu rovnic.
|
|
|
78 |
|
|
|
79 |
\begin{equation}
|
|
|
80 |
x_1(k+1)=x_2(k) \\
|
|
|
81 |
x_2(k+1)=-x_1(k) + u(k)\\
|
|
|
82 |
y(k)=x_1(k) \\
|
|
|
83 |
\end{equation}
|
|
|
84 |
|
|
|
85 |
Kterou můžeme přepsat do tvaru
|
|
|
86 |
|
|
|
87 |
\begin{equation}
|
|
|
88 |
x_1(k+1)=\left[ \begin{array}{cc}
|
|
|
89 |
|
|
|
90 |
-1 & 0 \\
|
|
|
91 |
\end{array}
|
|
|
92 |
\right] x(k) + \left[ \begin{array}{c}
|
|
|
93 |
|
|
|
94 |
1 \\
|
|
|
95 |
\end{array}
|
|
|
96 |
\right] u(k)
|
|
|
97 |
\\
|
|
|
98 |
y(k)=\left[ \begin{array}{cc}
|
|
|
99 |
1 & 0 \\
|
|
|
100 |
\end{array} \right] x(k) + [0]u(k)\\
|
|
|
101 |
\end{equation}
|
|
|
102 |
|
|
|
103 |
Z toho pak můžeme zjistit přenos systému
|
|
|
104 |
|
|
|
105 |
\begin{equation}
|
|
|
106 |
G(z)= C (zI - A)^{-1} B + D \\
|
|
|
107 |
G(z)=\left[ \begin{array}{cc}
|
|
|
108 |
1 & 0 \\
|
|
|
109 |
\end{array} \right] \frac{1}{z^2 + 1 }
|
|
|
110 |
\left[ \begin{array}{cc}
|
|
|
111 |
z & 1 \\
|
|
|
112 |
-1 & z \\
|
|
|
113 |
\end{array} \right]
|
|
|
114 |
\left[ \begin{array}{c}
|
|
|
115 |
|
|
|
116 |
1 \\
|
|
|
117 |
\end{array} \right] = \frac{1}{z^2 + 1}
|
|
|
118 |
\end{equation}
|
|
|
119 |
|
|
|
120 |
singularita přenosu nastává v bodech $z= \pm j$ A systém není BIBO stabilní, protože jeho póly nejsou uvnitř jednotkového kruhu, ale na jeho hranici.
|
|
|
121 |
|
|
|
122 |
\end{enumerate}
|
|
|
123 |
|
|
|
124 |
|
|
|
125 |
\end{document}
|